第 10 章 控制系统设计
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- 青玉白露
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10.1 控制系统基础
在开始学习控制系统设计之前,我们需要先了解一些基本概念。控制系统是一种能够根据预定的规则,对被控对象的行为进行控制和调节的系统。它广泛应用于工业生产、航空航天、机器人等领域。
10.1.1 控制系统的基本概念
控制系统由被控对象、执行机构、测量装置、控制器等部分组成。其基本原理如下图所示:
- 被控对象:需要控制的对象,如电机、化工设备等。
- 测量装置:测量被控对象的输出,将其转换为控制器可以识别的信号。
- 控制器:根据测量信号和指令信号,产生控制信号。
- 执行机构:接收控制信号,对被控对象施加相应的作用。
10.1.2 控制系统的分类
根据控制方式的不同,控制系统可分为:
- 开环控制系统:没有反馈环节,控制器直接作用于被控对象。
- 闭环控制系统:存在反馈环节,控制器根据反馈信号调节控制量。
根据控制规律的不同,控制系统可分为:
- 线性控制系统:系统的数学模型为线性方程。
- 非线性控制系统:系统的数学模型为非线性方程。
10.2 传递函数与状态空间模型
为了对控制系统进行分析与设计,我们需要建立系统的数学模型。传递函数和状态空间模型是两种常用的数学模型。
10.2.1 传递函数的定义
传递函数描述了线性时不变系统的输入和输出之间的关系。对于单输入单输出系统,传递函数定义为:
其中,为输出的拉普拉斯变换,为输入的拉普拉斯变换。 例如,一个 RC 电路的传递函数为: 其中,R 为电阻,C 为电容。10.2.2 状态空间模型的定义
状态空间模型用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性。一般形式为:
其中,为状态变量,为输入变量,为输出变量,A、B、C、D 为系统矩阵。 以一个弹簧-质量-阻尼系统为例,其状态空间模型为: 其中,为位移,为速度,k 为弹簧系数,b 为阻尼系数,m 为质量。10.2.3 传递函数与状态空间模型的转换
传递函数和状态空间模型之间可以互相转换。以下是一些常用的转换方法。
状态空间模型转传递函数
已知状态空间模型的系统矩阵 A、B、C、D,传递函数为:
其中,I 为单位矩阵。 例如,将上述弹簧-质量-阻尼系统转换为传递函数:m = 1; k = 1; b = 0.5; A = [0 1; -k/m -b/m]; B = [0; 1/m]; C = [1 0]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D); G = tf(sys)
输出结果为:
G = 1 ——————————— s^2 + 0.5 s + 1
传递函数转状态空间模型
已知传递函数的分子多项式向量 num 和分母多项式向量 den,状态空间模型为:
其中,为 den 的第 i 个元素,为 num 的第 i 个元素,n 为 den 的阶数。 例如,将上述传递函数转换为状态空间模型:num = [1]; den = [1 0.5 1]; [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)
输出结果为:
A = -0.5000 -1.0000 1.0000 0 B = 1 0 C = 1 0.5000 D = 0
10.3 系统的时域与频域分析
10.3.1 时域分析
时域分析主要研究系统对某一输入信号的响应。常用的时域性能指标有:
- 上升时间:响应从 10%上升到 90%所需的时间。
- 峰值时间:响应达到第一个峰值所需的时间。
- 超调量:响应的最大值与稳态值之差与稳态值的百分比。
- 调节时间:响应进入并保持在稳态值附近的时间。
以单位阶跃响应为例:
sys = tf(1, [1 1]); step(sys) stepinfo(sys)
输出结果为:
ans = struct with fields: RiseTime: 2.1972 SettlingTime: 3.9120 SettlingMin: 0.9052 SettlingMax: 1.0948 Overshoot: 9.4755 Undershoot: 0 Peak: 1.0948 PeakTime: 4.3944
可以看出,该系统的上升时间为 2.20s,调节时间为 3.91s,超调量为 9.48%。
10.3.2 频域分析
频域分析主要研究系统对正弦输入的稳态响应。常用的频域性能指标有:
- 幅频特性:系统输出幅值与输入幅值之比随频率的变化关系。
- 相频特性:系统输出相位与输入相位之差随频率的变化关系。
- 共振峰值:幅频曲线的最大值。
- 带宽:幅频曲线最大值的倍(即-3dB)处所对应的频率。
以一个二阶系统为例:
sys = tf(1, [1 0.2 1]); bode(sys)
输出结果为:
从 Bode 图可以看出,该系统的共振峰值约为 10dB,带宽约为 1.6rad/s。10.3.3 稳定性与瞬态响应
稳定性是指系统在有界输入下,其输出也保持有界。常用的稳定性判据有:
- 劳斯-赫尔维茨准则:根据特征方程的系数判断。
- 奈奎斯特准则:根据开环传递函数的奈奎斯特曲线判断。
- 李雅普诺夫稳定性理论:构造李雅普诺夫函数判断。
瞬态响应反映了系统在初始状态下的动态特性。可以通过求解状态空间方程得到。 例如,求解一个二阶系统的单位脉冲响应:
A = [-0.5 -1; 1 0]; B = [1; 0]; C = [1 0.5]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D); impulse(sys)
输出结果为:
10.4 控制器设计
控制器的作用是根据控制偏差,按照一定的控制规律,产生控制作用,使被控量达到或接近给定值。常用的控制器有 PID 控制器、状态反馈控制器、最优控制器等。
10.4.1 PID 控制器
PID 控制器由比例(P)、积分(I)、微分(D)三部分组成,控制规律为:
其中,、、分别为比例、积分、微分系数,为控制偏差。 以一个二阶系统为例,设计 PID 控制器:sys = tf(1, [1 1 1]); Kp = 10; Ki = 5; Kd = 2; C = pid(Kp,Ki,Kd); T = feedback(C*sys, 1); step(T)
输出结果为:
可以看出,PID 控制器改善了系统的动态性能,使响应速度更快,超调量更小。10.4.2 状态反馈控制器
状态反馈控制器根据状态变量的线性组合构成控制量,即:
其中,K 为状态反馈矩阵。状态反馈可以任意配置系统的极点,改善系统的动态性能。 以上述弹簧-质量-阻尼系统为例,设计状态反馈控制器:A = [0 1; -1 -0.5]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = 0; p = [-2 -3]; % 期望极点 K = place(A,B,p); % 计算反馈矩阵 sys = ss(A-B*K,B,C,D); step(sys)
输出结果为:
系统的极点已被配置到期望位置,阶跃响应满足性能要求。10.4.3 最优控制器
最优控制器是使性能指标最优的控制器。常用的性能指标有:
- 积分平方误差(ISE):
- 积分时间平方误差(ITSE):
- 积分绝对误差(IAE):
线性二次型最优控制(LQR)是一种常用的最优控制方法。它使如下指标最小:
其中,Q 为半正定状态加权矩阵,R 为正定控制加权矩阵。 求解 LQR 问题的 MATLAB 代码如下:A = [0 1; -1 -0.5]; B = [0; 1]; Q = [10 0; 0 1]; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R); % 计算最优反馈矩阵 sys = ss(A-B*K,B,C,D); step(sys)
输出结果为:
LQR 控制器在满足性能指标最优的同时,也使系统的动态响应性能得到改善。本章小结
本章介绍了控制系统设计的基础知识和实践技巧。我们学习了:
- 控制系统的基本概念和分类
- 传递函数和状态空间模型的定义和转换
- 系统的时域分析和频域分析方法
- PID 控制器、状态反馈控制器、LQR 最优控制器的设计方法
通过本章的学习,相信你已经掌握了使用 MATLAB 进行控制系统设计与仿真的基本方法。在实际应用中,我们还需要根据具体问题,灵活选择和组合不同的控制策略。控制系统设计是一个不断优化和迭代的过程,需要我们不断学习和实践。
思考题
- 某直流电机的传递函数为,试求其单位阶跃响应的超调量和调节时间。
- 设计一个状态反馈控制器,使上述直流电机的极点配置为,并画出闭环系统的阶跃响应曲线。
- 对题 2 所设计的状态反馈系统,增加一个前馈控制器,使闭环系统的稳态误差为零,并比较加前馈和不加前馈时的阶跃响应。
参考文献
[1] 胡寿松. 自动控制原理(第六版). 科学出版社, 2013. [2] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering (5th Edition). Pearson, 2009. [3] Richard C. Dorf. Modern Control Systems (13th Edition). Pearson, 2016.