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第 10 章 控制系统设计

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10.1 控制系统基础

在开始学习控制系统设计之前,我们需要先了解一些基本概念。控制系统是一种能够根据预定的规则,对被控对象的行为进行控制和调节的系统。它广泛应用于工业生产、航空航天、机器人等领域。

10.1.1 控制系统的基本概念

控制系统由被控对象、执行机构、测量装置、控制器等部分组成。其基本原理如下图所示:

  • 被控对象:需要控制的对象,如电机、化工设备等。
  • 测量装置:测量被控对象的输出,将其转换为控制器可以识别的信号。
  • 控制器:根据测量信号和指令信号,产生控制信号。
  • 执行机构:接收控制信号,对被控对象施加相应的作用。

10.1.2 控制系统的分类

根据控制方式的不同,控制系统可分为:

  • 开环控制系统:没有反馈环节,控制器直接作用于被控对象。
  • 闭环控制系统:存在反馈环节,控制器根据反馈信号调节控制量。

根据控制规律的不同,控制系统可分为:

  • 线性控制系统:系统的数学模型为线性方程。
  • 非线性控制系统:系统的数学模型为非线性方程。

10.2 传递函数与状态空间模型

为了对控制系统进行分析与设计,我们需要建立系统的数学模型。传递函数和状态空间模型是两种常用的数学模型。

10.2.1 传递函数的定义

传递函数描述了线性时不变系统的输入和输出之间的关系。对于单输入单输出系统,传递函数定义为:

其中,
为输出的拉普拉斯变换,
为输入的拉普拉斯变换。 例如,一个 RC 电路的传递函数为:
其中,R 为电阻,C 为电容。

10.2.2 状态空间模型的定义

状态空间模型用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性。一般形式为:

其中,
为状态变量,
为输入变量,
为输出变量,A、B、C、D 为系统矩阵。 以一个弹簧-质量-阻尼系统为例,其状态空间模型为:
其中,
为位移,
为速度,k 为弹簧系数,b 为阻尼系数,m 为质量。

10.2.3 传递函数与状态空间模型的转换

传递函数和状态空间模型之间可以互相转换。以下是一些常用的转换方法。

状态空间模型转传递函数

已知状态空间模型的系统矩阵 A、B、C、D,传递函数为:

其中,I 为单位矩阵。 例如,将上述弹簧-质量-阻尼系统转换为传递函数:

m = 1; k = 1; b = 0.5;
A = [0 1; -k/m -b/m];
B = [0; 1/m];
C = [1 0];
D = 0;

sys = ss(A,B,C,D);
G = tf(sys)

输出结果为:

G =

     1
  ———————————
 s^2 + 0.5 s + 1

传递函数转状态空间模型

已知传递函数的分子多项式向量 num 和分母多项式向量 den,状态空间模型为:

其中,
为 den 的第 i 个元素,
为 num 的第 i 个元素,n 为 den 的阶数。 例如,将上述传递函数转换为状态空间模型:

num = [1];
den = [1 0.5 1];

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

输出结果为:

A =

    -0.5000   -1.0000
     1.0000         0

B =

     1
     0

C =

     1     0.5000

D =

     0

10.3 系统的时域与频域分析

10.3.1 时域分析

时域分析主要研究系统对某一输入信号的响应。常用的时域性能指标有:

  • 上升时间:响应从 10%上升到 90%所需的时间。
  • 峰值时间:响应达到第一个峰值所需的时间。
  • 超调量:响应的最大值与稳态值之差与稳态值的百分比。
  • 调节时间:响应进入并保持在稳态值附近的时间。

以单位阶跃响应为例:

sys = tf(1, [1 1]);
step(sys)
stepinfo(sys)

输出结果为: 

ans =

  struct with fields:

    RiseTime: 2.1972
     SettlingTime: 3.9120
    SettlingMin: 0.9052
    SettlingMax: 1.0948
    Overshoot: 9.4755
     Undershoot: 0
        Peak: 1.0948
      PeakTime: 4.3944

可以看出,该系统的上升时间为 2.20s,调节时间为 3.91s,超调量为 9.48%。

10.3.2 频域分析

频域分析主要研究系统对正弦输入的稳态响应。常用的频域性能指标有:

  • 幅频特性:系统输出幅值与输入幅值之比随频率的变化关系。
  • 相频特性:系统输出相位与输入相位之差随频率的变化关系。
  • 共振峰值:幅频曲线的最大值。
  • 带宽:幅频曲线最大值的
    倍(即-3dB)处所对应的频率。

以一个二阶系统为例:

sys = tf(1, [1 0.2 1]);
bode(sys)

输出结果为:

从 Bode 图可以看出,该系统的共振峰值约为 10dB,带宽约为 1.6rad/s。

10.3.3 稳定性与瞬态响应

稳定性是指系统在有界输入下,其输出也保持有界。常用的稳定性判据有:

  • 劳斯-赫尔维茨准则:根据特征方程的系数判断。
  • 奈奎斯特准则:根据开环传递函数的奈奎斯特曲线判断。
  • 李雅普诺夫稳定性理论:构造李雅普诺夫函数判断。

瞬态响应反映了系统在初始状态下的动态特性。可以通过求解状态空间方程得到。 例如,求解一个二阶系统的单位脉冲响应:

A = [-0.5 -1; 1 0];
B = [1; 0];
C = [1 0.5];
D = 0;

sys = ss(A,B,C,D);
impulse(sys)

输出结果为:

10.4 控制器设计

控制器的作用是根据控制偏差,按照一定的控制规律,产生控制作用,使被控量达到或接近给定值。常用的控制器有 PID 控制器、状态反馈控制器、最优控制器等。

10.4.1 PID 控制器

PID 控制器由比例(P)、积分(I)、微分(D)三部分组成,控制规律为:

其中,
、
、
分别为比例、积分、微分系数,
为控制偏差。 以一个二阶系统为例,设计 PID 控制器:

sys = tf(1, [1 1 1]);
Kp = 10; Ki = 5; Kd = 2;
C = pid(Kp,Ki,Kd);

T = feedback(C*sys, 1);
step(T)

输出结果为:

可以看出,PID 控制器改善了系统的动态性能,使响应速度更快,超调量更小。

10.4.2 状态反馈控制器

状态反馈控制器根据状态变量的线性组合构成控制量,即:

其中,K 为状态反馈矩阵。状态反馈可以任意配置系统的极点,改善系统的动态性能。 以上述弹簧-质量-阻尼系统为例,设计状态反馈控制器:

A = [0 1; -1 -0.5];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;

p = [-2 -3];  % 期望极点
K = place(A,B,p);  % 计算反馈矩阵

sys = ss(A-B*K,B,C,D);
step(sys)

输出结果为:

系统的极点已被配置到期望位置,阶跃响应满足性能要求。

10.4.3 最优控制器

最优控制器是使性能指标最优的控制器。常用的性能指标有:

  • 积分平方误差(ISE):
  • 积分时间平方误差(ITSE):
  • 积分绝对误差(IAE):

线性二次型最优控制(LQR)是一种常用的最优控制方法。它使如下指标最小:

其中,Q 为半正定状态加权矩阵,R 为正定控制加权矩阵。 求解 LQR 问题的 MATLAB 代码如下:

A = [0 1; -1 -0.5];
B = [0; 1];
Q = [10 0; 0 1];
R = 1;

K = lqr(A,B,Q,R);  % 计算最优反馈矩阵

sys = ss(A-B*K,B,C,D);
step(sys)

输出结果为:

LQR 控制器在满足性能指标最优的同时,也使系统的动态响应性能得到改善。

本章小结

本章介绍了控制系统设计的基础知识和实践技巧。我们学习了:

  • 控制系统的基本概念和分类
  • 传递函数和状态空间模型的定义和转换
  • 系统的时域分析和频域分析方法
  • PID 控制器、状态反馈控制器、LQR 最优控制器的设计方法

通过本章的学习,相信你已经掌握了使用 MATLAB 进行控制系统设计与仿真的基本方法。在实际应用中,我们还需要根据具体问题,灵活选择和组合不同的控制策略。控制系统设计是一个不断优化和迭代的过程,需要我们不断学习和实践。

思考题

  1. 某直流电机的传递函数为
    ,试求其单位阶跃响应的超调量和调节时间。
  2. 设计一个状态反馈控制器,使上述直流电机的极点配置为
    ,并画出闭环系统的阶跃响应曲线。
  3. 对题 2 所设计的状态反馈系统,增加一个前馈控制器,使闭环系统的稳态误差为零,并比较加前馈和不加前馈时的阶跃响应。

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理(第六版). 科学出版社, 2013. [2] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering (5th Edition). Pearson, 2009. [3] Richard C. Dorf. Modern Control Systems (13th Edition). Pearson, 2016.